Multiplicación de Matrices

Dadas las matrices

definiremos la multiplicación de la fila 1 de A por la columna 3 de B, como:

y similarmente, la multiplicación de la fila 2 de A, por la columna 2 de B, como:

Más aún, definiremos la multiplicación

como la matriz C de dimensión 2x4, donde cada elemento c_ij, de la fila i, columna j del producto C, es el resultado de la siguiente operación:

Elemento en fila i, columna j de C = Fila i de A x columna j de B

Por supuesto, el elemento c₂₃, de la 2da. fila, 3ra. columna del producto

C = AB,

se calculará multiplicando la fila 2 de A, por la columna 3 de B (enmarcadas), así:

Es de notar que si A es de dimensión 2x3 y B es de dimensión 3x4, entonces AB es una matriz de dimensión 2x4.

Para denotar que una matriz A es de dimensión mxn, (m filas, n columnas), la notaremos como: A_mxn.

En general, dos matrices A_mxn y B_sxk, son conformes para la multiplicación sí y sólo sí n = s, o sea que el número de columnas de A, debe ser igual al número de filas de B.

El resultado del producto A_mxn B_nxk = C_mxk , es tal que el elemento c_ij , de la fila i, columna j de C, es el resultado del producto de la fila i de A por la columna j de B.

Las matrices

De donde se verifica que si I_n es la matriz idéntica de orden n, entonces, como sucede en los números con el número 1:

A_n I_n = I_n A_n = A_n

Ejercicios resueltos

1. Sean:

De donde se verifica que si I_n es la matriz idéntica de orden n, entonces, como sucede en los números con el número 1:

A_n I_n = I_n A_n = A_n

Ejercicios resueltos

1. Sean:

a) Verifique las condiciones de dimensión para que el producto AB esté definido y halle la dimensión de AB.

b) Halle el elemento c₂₄ de AB, situado en la segunda fila, cuarta columna.

c) Calcule AB.

d) Señale por qué BA no está definida.

Solución:

a) Como A es dimensión 3 x 3 y B es de dimensión 3 x 4, entonces AB está definida y su dimensión es 3 x 4.

b) El elemento c₂₄ de AB se puede calcular efectuando el producto de la segunda fila de A por la cuarta columna de B así:

2. Demuestre que si

A = (a_ij ) _mxn y B = (b_ij) _nxk

entonces, en general: (AB)^T = B^TA^T.

Demostración:

Si AB = C = (c_ij) _mxk , donde c_{ij =} a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_in b_nj .

Luego:

(AB)^T = C^T = (c_ij ^(t))_kxm , donde c_ij^(t) = c_ji = a_j1 b_1i + a_j2 b_2i + ... + a_jn b_ni

Además: B^T = (b_ij ^(t))_kxn , donde b_ij ^(t) = b_ji .

A^T = (a_ij ^(t))_nxm , donde a_ij ^(t) = a_ji

Si B^TA^T = D = (d_ij )_kxm , entonces

d_ij = b_i1^(t) a_1j^(t) + b_i2^(t) a_2j^(t) + ... + b_in^(t) a_nj^(t) .

Por consiguiente: d_ij = b_1i a_j1 + b_2i a_j2 + ... + b_ni a_jn .

Como (AB)^T y B^TA^T , son de la misma dimensión k x m y

c_ij^(t) = d_ij , para todo (i , j) , hemos concluido la demostración.

3. Demostraremos que si A = B y C = D, entonces AC = BD.

Demostración:

Sean A = (a_ij) _mxn , y B = (b_ij) _mxn ,

C = (c_ij) _nxk , y D = (d_ij) _nxk .

Como A = B, tendremos que a_ij = b_ij , para todo i,,j .

Como C = D, tendremos que c_ij = d_ij , para todo i,,j .

Luego: AC = (a_i1 c_1j + a_{i 2} c_2j + ... + a_in c_nj ) _mxk

y BD = (b_i1 d_1j + b_{i 2} d_2j + ... + b_in d_nj ) _mxk

ya que a_ij = b_ij , para todo i,,j . y

c_ij = d_ij , para todo i,,j .

Se concluye que AC = BD.

6.La matriz idéntica de orden n, conmuta con todas las matrices de orden n ya que:

AI = IA = A, para toda matriz A de orden n.

7. La matriz 0 de orden n es tal que A0 = 0A = 0

luego: A0 = 0A, para toda matriz A de orden n. Es decir que la matriz 0 de orden n, conmuta con todas las matrices cuadradas (del mismo orden n)

8. Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz A + AA, conmuta con A.

Demostración: A( A + AA ) = AA + AAA, Y

( A + AA) A = AA + AAA.