Multiplicación de Matrices

Dadas las matrices

definiremos la multiplicación de la fila 1 de A por la columna 3 de B, como:

y similarmente, la multiplicación de la fila 2 de A, por la columna 2 de B, como:

Más aún, definiremos la multiplicación

como la matriz C de dimensión 2x4, donde cada elemento c_ij, de la fila i, columna j del producto C, es el resultado de la siguiente operación:

Elemento en fila i, columna j de C = Fila i de A x columna j de B

Por supuesto, el elemento c₂₃, de la 2da. fila, 3ra. columna del producto

C = AB,

se calculará multiplicando la fila 2 de A, por la columna 3 de B (enmarcadas), así:

Es de notar que si A es de dimensión 2x3 y B es de dimensión 3x4, entonces AB es una matriz de dimensión 2x4.

Para denotar que una matriz A es de dimensión mxn, (m filas, n columnas), la notaremos como: A_mxn.

En general, dos matrices A_mxn y B_sxk, son conformes para la multiplicación sí y sólo sí n = s, o sea que el número de columnas de A, debe ser igual al número de filas de B.

El resultado del producto A_mxn B_nxk = C_mxk , es tal que el elemento c_ij , de la fila i, columna j de C, es el resultado del producto de la fila i de A por la columna j de B.

Las matrices

De donde se verifica que si I_n es la matriz idéntica de orden n, entonces, como sucede en los números con el número 1:

A_n I_n = I_n A_n = A_n

Ejercicios resueltos

1. Sean:

De donde se verifica que si I_n es la matriz idéntica de orden n, entonces, como sucede en los números con el número 1:

A_n I_n = I_n A_n = A_n

Ejercicios resueltos

1. Sean:

a) Verifique las condiciones de dimensión para que el producto AB esté definido y halle la dimensión de AB.

b) Halle el elemento c₂₄ de AB, situado en la segunda fila, cuarta columna.

c) Calcule AB.

d) Señale por qué BA no está definida.

Solución:

a) Como A es dimensión 3 x 3 y B es de dimensión 3 x 4, entonces AB está definida y su dimensión es 3 x 4.

b) El elemento c₂₄ de AB se puede calcular efectuando el producto de la segunda fila de A por la cuarta columna de B así:

2. Demuestre que si

A = (a_ij ) _mxn y B = (b_ij) _nxk

entonces, en general: (AB)^T = B^TA^T.

Demostración:

Si AB = C = (c_ij) _mxk , donde c_{ij =} a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_in b_nj .

Luego:

(AB)^T = C^T = (c_ij ^(t))_kxm , donde c_ij^(t) = c_ji = a_j1 b_1i + a_j2 b_2i + ... + a_jn b_ni

Además: B^T = (b_ij ^(t))_kxn , donde b_ij ^(t) = b_ji .

A^T = (a_ij ^(t))_nxm , donde a_ij ^(t) = a_ji

Si B^TA^T = D = (d_ij )_kxm , entonces

d_ij = b_i1^(t) a_1j^(t) + b_i2^(t) a_2j^(t) + ... + b_in^(t) a_nj^(t) .

Por consiguiente: d_ij = b_1i a_j1 + b_2i a_j2 + ... + b_ni a_jn .

Como (AB)^T y B^TA^T , son de la misma dimensión k x m y

c_ij^(t) = d_ij , para todo (i , j) , hemos concluido la demostración.

3. Demostraremos que si A = B y C = D, entonces AC = BD.

Demostración:

Sean A = (a_ij) _mxn , y B = (b_ij) _mxn ,

C = (c_ij) _nxk , y D = (d_ij) _nxk .

Como A = B, tendremos que a_ij = b_ij , para todo i,,j .

Como C = D, tendremos que c_ij = d_ij , para todo i,,j .

Luego: AC = (a_i1 c_1j + a_{i 2} c_2j + ... + a_in c_nj ) _mxk

y BD = (b_i1 d_1j + b_{i 2} d_2j + ... + b_in d_nj ) _mxk

ya que a_ij = b_ij , para todo i,,j . y

c_ij = d_ij , para todo i,,j .

Se concluye que AC = BD.

6.La matriz idéntica de orden n, conmuta con todas las matrices de orden n ya que:

AI = IA = A, para toda matriz A de orden n.

7. La matriz 0 de orden n es tal que A0 = 0A = 0

luego: A0 = 0A, para toda matriz A de orden n. Es decir que la matriz 0 de orden n, conmuta con todas las matrices cuadradas (del mismo orden n)

8. Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz A + AA, conmuta con A.

Demostración: A( A + AA ) = AA + AAA, Y

( A + AA) A = AA + AAA.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.Halle la descomposición LU de A (o de PA^, si requiere intercambiar filas), de las siguientes matrices. Si utiliza matrices de permutación, especifíque cuál es la matriz P.

2) Descomponga las siguientes matrices en su forma LU o PLU. La matriz P se puede describir explícitamente por intercambio de filas en la matriz idéntica o señale en palabras cuáles filas se han intercambiado en la posición LU.

Respuestas parciales

Descomposición LU.

a) La descomposición sobrescrita podría ser (efectúe el proceso)

Salvo este intercambio, la correspondiente descomposición LU sería:

PROPIEDADES

Propiedades

Las leyes de las operaciones

Los objetos del algebra matricial son matrices, las cuales generalmente se denominan por letras mayúsculas como A, B, C, etc.

MATRIZ 0 DE DIMENSIÓN mxn.

La matriz 0 de dimensión mxn, o matriz nula, es la matriz

0_mxn = (a) _{ij mxn,} donde a _ij = 0, para cada i,,j.

Por lo tanto

, etc

Sabemos que si las matrices son conformables, podemos sumarlas, restarlas y multiplicarlas.

Las siguientes reglas se verifican en el álgebra de matrices, siempre que las operaciones se puedan definir (conformabilidad).

Si A es una matriz cuadrada:

A x 0 = 0 x A = 0, A x I = I x A = A

Para matrices (conformables) de cualquier dimensión:

Propiedades

A + B = B + A	Conmutatividad
(A + B) + C = A + (B + C)	Asociatividad
A(BC) = (AB)C	Asociatividad
A + 0 = 0 + A = A	Elemento neutro
AI = IA = A	Matriz identica
A0 = 0A = 0
a(A + B) = aA + aB	a es un número
a(AB) = A(aB)= aAB	a es un número
ab(A)=a(bA)
A(B + C) = AB + AC	Distributividad
(A + B)C = AB + AC	Distributividad
(A T )T = A
(A + B) T = A T + B T
(AB) T = B TA T

Por supuesto:

En los números se cumple la siguiente ley conmutativa	En las matrices
ab = ba	No siempre AB = BA

Ejemplo:

De este ejemplo se concluye, que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Por lo tanto, una vez planteado un problema hay que tener cuidado con el orden en que se ejecutan las operaciones

APLICACIONES PRACTICAS

Aplicaciones prácticas

Un problema de comunicaciones

Una señal de radio transmitida por una estación puede ser retransmitida por estaciones vecinas las cuales formando una cadena pueden llevarla hasta los confines más remotos.

Cuando el número de estaciones retransmisoras aumenta, puede ser dificil determinar si la señal que sale de una estación puede llegar a otra directamente o al menos utilizando algunos relevos.

Suponiendo que las estaciones 1,2,3,4,5, y 6 establecen canales de comunicación como los que muestra la siguiente figura:

Debemos determinar si una señal transmitida por una estación puede llegar a otra.

En la figura anterior puede observarse que la estación 1 está aislada de las otras estaciones y que la estación 3 no puede enviar señal a la estación 2, pese a que puede recibir señal de aquella.

Algunas estaciones tienen comunicaciones de doble vía.

Es un hecho que la estación 2 puede enviar señales a la estación 6 utilizando las rutas

2--->3--->4---->6, 2--->3--->5--->6, 2--->5--->6, 2--->5--->3---->4---->6.

El gráfico de la figura anterior podría representar también posibilidades de soborno o tráfico de influencias, que son desgraciadamente comunes en nuestra sociedad, entre las personas 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

En el gráfico anterior observaríamos que el señor 1 no soborna y es insobornable, y que el señor 6, entre otros, puede ser sobornado por todos, excepto por el incorruptible señor 1 (nuestro héroe). A veces a alto costo por el número de intermediarios que se pueden requerir.

Si el gráfico anterior representa cómo una perturbación sufrida por uno de los focos, se transmite a los restantes, podemos ver que la más alta posibilidad de perturbación se halla en los focos 4 y 6 pues se perturban al perturbar cualquier otro foco distinto de 1.

Gráficos como el de la figura pueden esquematizar relaciones genéticas entre individuos o generaciones, retrasmisiones de repetidoras o vias de comunicación.

Retornemos al caso de las estaciones de radio!.

Si el número de estaciones y de relaciones aumenta, gráficos como el de la figura anterior pueden parecer al observador tan indescifrables como el gráfico siguiente:

La matriz C que llamaremos la matriz de las comunicaciones directas, condensa toda la información del gráfico.

La matriz C = (c_ij )_6x6 , ha sido definida de tal manera que c_ij = 1, para i = j, si la señal de la i-ésima estación es recibida directamente por la j-ésima estación.

Por definición c_ii = 0 para todo i (no aceptamos retrasmisión de una estación a sí misma).

Podemos plantearnos la pregunta:

Cuáles estaciones se pueden comunicar entre sí enviando sus señales por intermedio de otras estaciones (relevos) ?.

Motivaremos la respuesta a esta pregunta observando un elemento en la matriz C².

Estudiemos por ejemplo el elemento situado en la 2da. fila, 4ta. columna de C². Tal elemento es:

.

c₂₁ . c₁₄ + c₂₂ . c₂₄ + c₂₃ . c₃₄ + c₂₄ .c₄₄ + c₂₅ . c₅₄ + c₂₆ . c₆₄

Cada elemento c_2k . c_k4 de la suma anterior es 0 o 1. Además: c_2k . c_k4 es 1 sólo en el caso de que c_2k = 1 y c_k4 = 1. Es decir, sólo en caso de que la señal de la estación 2 pueda ser retransmitida a la estación 4, pasando por la estación intermedia k.

En consecuencia la suma anterior, cuenta de cuántas maneras se puede enviar la señal de la estación 2 a la estación 4, utilizando exactamente una estación como intermediaria ( un relevo).

Asumimos de nuevo que los elementos de la diagonal de C², se reemplazan por ceros.

Por un razonamiento similar se concluye que cada elemento de la fila i, columna j, de C³, dá exactamente el número de maneras como la señal de la estación i puede llegar a la estación j, utilizando exactamente dos relevos.

Verifiquemos el caso de C².

En tal matriz, b₃₆ = 2, ya que las cadenas que se pueden utilizar para enviar la señal de la estación 3 a la estación 6, a partir del gráfico inicial de la página 17, utilizando exáctamente un relevo son:

3--->5--->6 y 3---->4---->6,

mientras que b₂₅ = 1, ya que la única cadena que lleva la señal de la estación 2 a la estación 5, utilizando exactamente un relevo es:

2---->3---->5.

El elemento C²_3,3 = 1, está informándonos de la cadena

Dependiendo del problema, esta cadena puede tenerse o no, en cuenta. En nuestro caso hemos decidido eliminarla ya que no queríamos que nos estorbara ese tipo de retrasmisión tipo eco. Sin embargo, es posible que estos ecos deban ser tomados en cuenta como lo haremos a continuación estudiando los casos C, C² y C³ cuando aceptamos 1’s en la diagonal.

Similarmente, el elemento en la posición i,j de C³ nos dice de cuántas maneras se puede enviar la señal de la estación i a la estación j utilizando exactamente 2 relevos.

En general, el elemento en la posición i,j, fila i, columna j de A^k , para cualquier k, cuenta de cuántas maneras, la señal de la estación i puede llegar a la estación j, utilizando exactamente k - 1 relevos.

EJERCICIOS CORRESPONDIENTES A APLICACIONES

EJERCICIOS CORRESPONDIENTES A APLICACIONES

1. Dibuje un diagrama semejante al que se presentó en el ejemplo de las comunicaciones, que corresponda a la matriz:

a) Calcule: i) C ² ii) C ³ iii) C + C ² + C ³

b) Verifique en el gráfico Por ejemplo, hay una flecha de 2 a 3 y no la hay de 2 a 1) que C ² si es la matriz de las comunicaciones utilizando exactamente un relevo y C ³ la de las comunicaciones con exactamente dos relevos. Distribuya los números 1,2,3,4 en un espacio tal que le permita trazar flechas entre aquellos que están comunicados directamente (tienen un 1 en la intersección fila, columna de A). Verifique además que C + C ² + C ³ es la de las comunicaciones con a lo más dos relevos.

c) Encuentre matricialmente de cuántas maneras puede llegar la señal de la estación 4 a la estación 2 utilizando a lo más dos relevos. Dé la lista a partir del gráfico de todas las cadenas que cumplen tal función.

2. Suponga que cuatro personas tienen establecido un tráfico de influencias de acuerdo con la figura siguiente:

a) Escriba la matriz que muestra el número de maneras en las cuales una persona puede influenciar a otra utilizando a lo más un intermediario.

b) Ordene a las personas de acuerdo con el número total de canales de influencia que puede ejercer utilizando a lo más un intermediario.

3. Una fabrica de automóviles aconseja rotar las llantas después de cada 10.000 kmts., tal como se

Escriba un ensayo corto sobre cómo el álgebra de matrices puede ser utilizada para determinar la posición ocupada por una llanta al cabo de n rotaciones.

4. Teniendo en cuenta la matriz de transición presentada en el ejemplo teórico de ésta sección, conteste las siguientes preguntas:

a) Qué porcentaje de quienes pertenecían originalmente al partido 3, votarán de nuevo por el partido 3 en la segunda siguiente elección?.

b) Cuál partido retendrá mayor porcentaje de sus votantes originales en tal elección a partir del estado inicial?

c) Qué porcentaje de los votantes iniciales del partido 2, votará por el partido 3 en tal elección?.

5. Suponiendo que el flujo de votantes (matriz de transición) se mantuviese inalterable año por año, verifique que:

a) El 50% de los votantes iniciales del partido 1 votarán de nuevo por el partido 1 en la siguiente tercera elección.

b) Aproximadamente el 50% de los votantes iniciales del partido 2, votará por el partido 1 en la siguiente tercera elección.

6. Tres compañías A, B y C, introducen nuevas marcas de crema dental simultaneamente en el mercado. Inicialmente el mercado está repartido así: A posee el 40%, B el 20% y C el 40%.

Durante el primer año, la compañía A retiene el 85% de sus clientes, pierde el 5% con B y el 10% con la compañía C. La compañía B retiene el 75% y pierde el 15% con A y el 10% con C. La compañía C retiene el 90% y pierde el 5% con A y el 5% con B. Asuma que los hábitos de consumo no cambian. Como estará repartido el mercado en porcentajes al final del 1ro. y 2do. años?.

7) Asuma que las personas, de acuerdo con el trabajo que desempeñan y el grado de calificación, se dividen en profesionales, trabajadores calificados y trabajadores no calificados. Asuma que el 70% de los hijos de profesionales son profesionales, 20% trabajadores calificados y 10% no calificados. De modo similar suponga que el 60% de los hijos de trabajadores calificados son trabajadores calificados, 20% profesionales y 20% no calificados. Asuma además que 89% de los hijos de los trabajadores no calificados son trabajadores no calificados, 10% son calificados y 1% son profesionales. Asuma que la matriz de transición permanece constante. Muestre que las fracciones de los nietos de los trabajadores no calificados que son profesionales, calificados y no calificados son (aproximadamente) 0.04, 0.15, y 0.81 respectivamente.

8. Con ayuda de un computador compruebe que si las relaciones dadas en el problema 7 se conservan por más de 40 años, cada nueva generación estará discriminada (aproximadamente) así: profesionales 17.65%, trabajadores calificados 23.53% y trabajadores no calificados 58.82%.

MATRICES NO SINGULARES

Matrices cuadradas no singulares.

Matrices singulares y no singulares

En los números	En las matrices
Existencia de inverso para cada numero diferente de 0 Si a ¹ 0 existe siempre uno y sólo un número b ¹ 0 tal que ab=ba=1	Esta afirmación en general, no es válida Para cada matriz A ¹ 0, existe una y sólo una matriz B ¹ 0, tal que AB = BA = I (donde I es la matriz idéntica)

Ejemplo

Sea

Se concluiría que:

2x + 4z =1 2y + 4w = 0

3x + 6z =0 3y + 6w = 1

Proposiciones que son contradictorias ya que si

2x + 4z = 1, entonces 1.5(2x + 4z) = 1.5 x 1 = 1.5. De donde se concluiría

3x + 6z = 1.5 ¹ 0,

en contradicción con

3x + 6z = 0.

En el caso de que para una matriz cuadrada A de orden n, exista una matriz cuadrada B, del mismo orden, tal que:

AB = BA = I _n,

se dice que B es la matriz inversa de A (la cual es única, para cada A).

A tal matriz B (cuando existe), se le denomina, la matriz inversa de A o A ^-1.

VERIFICACION DE LA EXISTENCIA DE LA MATRIZ INVERSA