Aplicaciones de la no singularidad
Por definición, la matriz inversa de A, es la única matriz, denotada como A -1 , tal que
A A -1 = A -1A = I
Si A posee matriz inversa, se dice que A es una matriz regular o no singular.
Las matrices cuadradas que no poseen inversa se llaman matrices singulares.
Nunca digas nunca jamás .......
Lo que se señala en el siguiente cuadro es responsabilidad única de José Arturo Barreto Gutiérrez. No se dá el teléfono ni la dirección para evitar discusiones entre respetables profesores.
Y el cuervo dijo: “nunca jamas”. Edgar Allan Poe. El cuervo.
Se puede hacer un simposio entre profesores de matemáticas y presentar la siguientes preguntas:
· Cuando usted va a resolver un problema, sabe de antemano si la matriz es regular o no?
· Que es mejor para usted, que la matriz sea regular o nó ?
· Si usted está resolviendo un problema físico o económico o quizás de otro tipo, y la investigación la financia alguien más, prefiere que la matriz sea no singular?. Y el que le financia qué quisiera?.
· Considera usted que el cálculo de la matriz inversa siempre no es importante?
Propongo una semana de simposio y repartir árnica y yantén entre los asistentes para curar las heridas y aliviar problemas sicológicos y frustraciones.
Es de anotar que el hecho de que una matriz sea regular o nó tiene una importancia teórico práctica. Por lo tanto:
· Trataremos de señalar en cada tema que lo amerite, su importancia (si la tiene) en la determinación de la regularidad o nó de las matrices.
· Enseñaremos métodos o alternativas para resolver problemas cuando teoricamente parezca que el mismo puede ser utilizado para calcular,acelerar, o evitar el cálculo de la matriz inversa
Atención dogmáticos: no digan nunca jamas....
[1] Lo que se señala en el siguiente cuadro es responsabilidad única de José Arturo Barreto Gutiérrez. No se dá el teléfono ni la dirección para evitar discusiones entre respetables profesores.
Y el cuervo dijo: “nunca jamas”. Edgar Allan Poe. El cuervo.
[1] Atención dogmáticos: no digan nunca jamas....
Puede probarse además que la condición D ¹ 0, no es sólo suficiente, para la inversibilidad, sino también necesaria, es
decir que si la matriz A, de orden 2 , es inversible entonces (necesariamente), su determinante D es diferente de 0.
La posibilidad de la existencia de matrices no singulares es de gran importancia en Álgebra lineal, como lo ilustraremos a continuación.
Ecuaciones tales como 2x = 4 , 3x – 1 = 7, etc. se resuelven despejando la x, así:
Si 2 x = 4 , entonces x = (1/2) 4 = 2
Si 3x – 1 = 7, entonces x = (7 + 1) / 3 = 8/3
Hemos utilizado las leyes familiares que señalan que el término que multiplica se pasa a dividir, el que divide a multiplicar, el que suma a restar y el que resta a sumar.
Aún en los números hay que tener sumo cuidado ya que la ecuación
0 x = 4
No tiene solución y el 0 no se puede pasar a dividir.
En contraste, la ecuación
0 x = 0, tiene infinitas soluciones.
La razón de tal “despropósito” radica en que en el caso de 2 x = 1, el número 2 tiene inverso multiplicativo (1/2) ( recuerde 2 x (1/2) = 1, por lo cual ½ es el inverso multiplicativo de 2).
Por lo tanto, utilizando la ley ax = b Þ x = a– 1 b = ½ b = (1/2)1 = 1/2
Y en el caso de 3x – 1 = 7, entonces 3 x = 8, luego x = 3– 1 8 = (1/3) 8
En los números se concluye que si ax = b y a– 1 existe (es decir si a¹ 0), entonces existe una única solución x = a– 1 b. Y si a– 1 no existe (caso a=0), entonces ax = b, tiene solución sólo en el caso en que b = 0 ( desafortunadamente 0 x = 0 tiene infinitas soluciones).
Existen también ecuaciones matriciales tales como
AX = B y AX + B = C ,
en donde la matrix X es la “incógnita” que se pretenderá calcular.
Veremos mas adelante que si A es una matriz cuadrada no singular (inversible), podremos proceder a “despejar” la X cualquiera sea el orden de A ( A podría ser de orden 10, 100 o más):
En el caso AX = B, premultiplicamos por A– 1 a ambos lados, obteniendo la solución así:
AX = B Þ A– 1 AX = A– 1 B Þ I X = A– 1 B Þ X = A– 1 B
(Hay que tener cuidado ya que la premultiplicación es una multiplicación por “la izquierda” que es muy diferente a la multiplicación por la derecha, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa y aun cuando ambas operaciones tengan sentido, por lo general son diferentes A– 1 B y BA– 1 )
En el caso AX + B = C, se procederá así, para “despejar” la X.
Si AX + B = C ( y A es no singular ) Þ A– 1 ( AX + B ) = A– 1 C
Þ A– 1 AX + A– 1 B = A– 1 C Þ IX = A– 1 C - A– 1 B
Þ X = A– 1 C - A– 1 B y hemos despejado la X.
En el caso de que en cualquiera de los dos ejemplos matriciales anteriores la matriz A fuese singular, no posee inversa, tal como sucedió en el caso de los números cuando a = 0 ( para ax = b o ax + b = c), el sistema o no tendrá solución o tendrá infinitas soluciones como lo veremos en el capítulo correspondiente a la solución de sistemas de ecuaciones ( capítulo 3).
Ejemplo:
3x + y = 2 6x + 2y = 3 3x + y = 2 2x – 5y = 1
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando si es posible el concepto de matriz inversa, como se explicó en los párrafos anteriores.
a) b)
Solución de a)
El sistema de ecuaciones lineales (las variables x e y, están elevadas a la primera potencia y no hay términos mixtos en xy, xz, xyz, etc.), se puede escribir matricialmente como:
Sustituyendo en el sistema de ecuaciones original, los valores x = 11/17, y = 1/17,
concluímos que la solución es correcta.
Solución de b):
Escribiendo el sistema de ecuaciones en la forma
AX = B
En donde
Vemos que el determinante de A, D = 3(2) – 6(1) = 0, por lo tanto la matriz A es singular y nuestros métodos utilizando la matriz inversa no se pueden aplicar.
Concluimos que: o el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones.
Reestudiando el sistema de ecuaciones
|
trataremos de eliminar la incógnita x, restando a la segunada ecuación el doble de la primera, llegando a:
|
La incompatibilidad de la segunda ecuación así obtenida nos indica que el sistema no tiene solución.
Definición:
Si n es un número entero positivo y A -1 existe, definimos:
A -n = (A -1) n
Definiendo, como es natural: A 0 = I ,
tambien se cumplen las reglas de los exponentes:
A r A s = A r + s , para r,s, números enteros, no necesariamente positivos.
Las reglas anteriores se parecen a las reglas de las operaciones con números reales.
El estudiar y caracterizar las condiciones de no singularidad para matrices y sus consecuencias, cuando el caso lo amerite, es equivalente a estudiar las condiciones de singularidad pues es el caso complementario. Nos adentraremos en el campo de las matrices no singulares y las consecuencias de la no singularidad, aquí y en diferentes partes de este libro.
Si A es regular (no singular), las siguiente leyes cancelativas son válidas:
· Si AB = AC entonces B = C
· Si BA = CA entonces B = C
Argumento:
AB = AC A-1 (AB) = A-1 (AC) (A-1 A)B = (A-1 A)C IB = IC B = C
Argumento similar para el otro caso.
Proposición: Si A y B son matrices no singulares del mismo orden, entonces (AB)-1 = B-1A-1.
Demostración: (B-1 A-1)AB = B-1 (A-1A)B = (B-1 I B) = B-1 B = I
AB(B-1 A-1) = AB B-1 A-1 = A I A-1 = A A-1 = I
De donde se concluye que:
(AB) -1 = B-1 A-1
Como no siempre la multiplicación de matrices es conmutativa, no es cierto en general que:
(AB) -1 = A-1B-1
PROPOSICION:
Si A es una matriz cuadrada no singular, entonces A T es no singular y
( A T ) -1 = ( A-1) T
DEMOSTRACION:
( A T ).( A-1) T = ( ( A-1) ( A ) ) T = I T = I . (recuerde que (AB) T = B TAT)
Observación: Exigimos que A y A-1 conmuten. Se puede probar (y no lo probaremos aquí) que si AB = I y A es una matriz cuadrada, entonces BA = I y que si AB = I entonces BA = I. O lo que es lo mismo, si A es una matriz cuadrada, toda matriz cuadrada inversa a derecha es a su vez
inversa a izquierda y viceversa. Por ello en la práctica para verificar si dos matrices cuadradas A y B son inversas una de la otra, basta con verificar que AB = I o que BA = I.
